Example

• Problem

  • 아래 식을 만족하는 curve 찾기 (curve fitting)

    

  • 목적함수

    

    // residual
    struct CURVE_FITTING_COST {
      CURVE_FITTING_COST(double x, double y) : _x(x), _y(y) {}
    
      // implement operator () to compute the error
      template<typename T>
      bool operator()(
        const T *const abc, // the estimated variables, 3D vector
        T *residual) const {
        residual[0] = T(_y) - ceres::exp(abc[0] * T(_x) * T(_x) + abc[1] * T(_x) + abc[2]); // y-exp(ax^2+bx+c)
        return true;
      }
    
      const double _x, _y;    // x,y data
    };
    

Curve Fitting with Ceres

1. parameter block 정의

   → 일반적으로 1차원 벡터지만 quaternion이나 Lie 대수로 정의 가능

   double abc[3] = {ae, be, ce}; // 최적화 변수
   

2. residual 값을 계산하는 residual block 정의

   → residual의 제곱 합을 ceres가 계산해줌

   ceres::Problem problem;
   for (int i = 0; i < N; i++) {
   	problem.AddResidualBlock(     // add i−th residual into the problem
   		// use auto−diff, template params: residual type, output dimension, input dimension
   		// should be same as the struct written before
   		new ceres::AutoDiffCostFunction<CURVE_FITTING_COST, 1, 3>(
   			new CURVE_FITTING_COST(x_data[i], y_data[i])
   		),
   		nullptr,            // kernel function, don't use here
   		abc                 // estimated variables
   	);
   }
   

3. residual block에서 Jacobian 계산정의

   → ‘automatic derivative function’ 사용 또는 직접 계산 프로세스를 정의

   // error의 차원: 1
   // 최적화 변수 개수: 3
   new ceres::AutoDiffCostFunction<CURVE_FITTING_COST, 1, 3>(
   	new CURVE_FITTING_COST(x_data[i], y_data[i])
   )
   

4. parameter block과 residual block을 ceres problem object에 넣어 Solve function 수행

   // set the solver options
   ceres::Solver::Options options; // actually there are lots of params can be adjusted
   options.linear_solver_type = ceres::DENSE_NORMAL_CHOLESKY;  // use cholesky to solve the normal equation
   
   // solve problem
   ceres::Solver::Summary summary; // optimization information
   ceres::Solve(options, &problem, &summary); // do optimization!
   

Curve Fitting with g2o