시간 $t=0...N$ 일 때, pose $\bold{x}_0$~$\bold{x}_N$, observation $\bold{y}_0$~$\bold{y}_M$가 있다고 가정
SLAM Problem
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관측 방정식에서 관측 데이터는 $\bold{x}_k$가 $\bold{y}_j$을 볼 때만 생성되고, 그렇지 않으면 생성되지 않음
→ 사실, 한 위치에서 흔히 볼 수있는 랜드마크의 수는 다소 적음
→ 다수의 feature point로 인해, 실제로 (관측 방정식의 수 >>> 운동 방정식) 가 됨
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움직임을 측정할 장치(encoder 등)가 없을 수도 있기 때문에 운동 방정식이 없을 수도 있음
→ 운동 방정식이 없는 경우 전체 최적화 문제는 단지 몇 가지 관측 방정식으로 구성
→ 일련의 이미지를 통해 모션 및 구조를 복원
→ SfM과는 달리 SLAM의 이미지에는 시간 순서가 있지만, SfM에서는 시간적으로 완전히 관련 없는 이미지를 사용할 수 있음
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uncertainty
- 왼쪽 그림: 운동 방정식만 고려하는 경우, 다음 순간의 포즈가 이전 순간을 기준으로 노이즈를 추가하기 때문에 불확실성이 점점 커짐
- 오른쪽 그림: 랜드마크 점을 기반으로 업데이트 해준 경우, 불확실성이 크게 감소
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Solution
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pose $\bold{x}_k$를 미지수로 잡고, landmark $m$에서의 camera pose $\bold{y}_m$가 주어짐
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동시에, 시간 $k$에서의 관측 값 $\bold{z}_k$이 기록되고, 운동 방정식과 관측 방정식을 아래과 같이 더 간결하게 작성 가능 (이전 $\bold{y}$는 이미 현재 $\bold{x}$에 포함되어 있음)
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지난 $0$~$k$까지의 데이터를 사용하여 현재 상태분포를 추정
→ 아래 첨자 $0:k$는 $0$ 부터 $k$까지의 모든 데이터
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위 식에 Bayes’ rule 적용
→ likelihood는 관측 방정식에 의해 계산됨
→ prior에서 $\bold{x}_k$는 모든 과거 상태들에 의해 계산됨
식 8.5
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적어도 $\bold{x}{k-1}$의 영향을 받기 때문에, $\bold{x}{k-1}$의 조건부 확률에 따라 아래와 같이 확장됨
→ 더 오래 전에 상태를 고려하면, 아래 식을 계속 확장 할 수 있지만, $k$ 와 $k-1$시간만 고려
식 8.6
- 이 다음 과정의 방법은 두 가지로 나뉠 수 있음
EKF: first-order Markov property을 가정할 경우, 시간 $k$에서의 상태가 시간 $k-1$의 상태에만 관련있고, 그 이전 상태와 관련이 없다고 가정Nonlinear Optimization: 시간 $k$에서의 상태가 모든 이전 상태와 관련이 있다고 가정
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